ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Το βιβλίο αυτό είναι αποτέλεσμα των παραδόσεων, των τελευταίων έξι χρόνων (2002-08), του μαθήματος Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου στο πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ.. Απευθύνεται κυρίως σε τελειόφοιτους προπτυχιακούς φοιτητές καθώς και μεταπτυχιακούς φοιτητές των Σχολών Θετικών Επιστημών, των Πολυτεχνικών Σχολών και των Σχολών Τεχνολογικών Εφαρμογών. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ανεξάρτητη μελέτη από εφαρμοσμένους μαθηματικούς και μηχανικούς.

Ο αναγνώστης θα πρέπει να έχει βασικές γνώσεις σε Γραμμική Αλγεβρα (Θεωρία Πινάκων και Γραμμικά Συστήματα), Απειροστικό Λογισμό μιας ή και περισσοτέρων μεταβλητών, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις και Θεωρία Γραμμικών Συστημάτων. Για τον λόγο αυτό στο παράρτημα που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου γίνεται μια σύντομη παρουσίαση βασικών εννοιών από αυτούς τους τομείς των μαθηματικών.

Το περιεχόμενο του βιβλίου χωρίζεται σε τρία κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια ιστορική εισαγωγή που ξεκινά με προβλήματα που οδήγησαν στην γέννηση του Λογισμού των Μεταβολών, συνεχίζει με τα στάδια της εξέλιξης του Λογισμού Μεταβολών και καταλήγει στην διατύπωση του προβλήματος που πραγματεύεται ο Βέλτιστος Έλεγχος δίνοντας αρκετά παραδείγματα από την σύγχρονη ζωή.

Το δεύτερο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγική προσέγγιση της θεωρίας του Λογισμού των Μεταβολών, ξεκινώντας με βασικές έννοιες που αναφέρονται πάνω σε χώρους συναρτήσεων αλλά και στην έννοια του συναρτησιακού μιας ή και περισσοτέρων συναρτήσεων. Διατυπώνει αναγκαίες και ικανές συνθήκης ύπαρξης ακρότατου σε ένα συναρτησιακό μέσω των διαφορικών εξισώσεων Euler-Lagrange στην πρώτη περίπτωση και των συνθηκών Legendre-Jacobi στην δεύτερη περίπτωση, ενώ προτείνει έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης του προβλήματος εύρεσης ακρότατου μέσω των μερικών διαφορικών εξισώσεων Hamilton-Jacobi. Στη συνέχεια μελετάει την εύρεση ακρότατης καμπύλης συναρτησιακού η οποία μπορεί να έχει ασυνέχεια στις παραγώγους ή μπορεί να ικανοποιεί κάποιους συγκεκριμένους περιορισμούς υπό την μορφή αλγεβρο-διαφορικών εξισώσεων. Τέλος επιλύεται το ισοπεριμετρικό πρόβλημα, το οποίο ανάγεται σε πρόβλημα εύρεσης ακρότατης καμπύλης συναρτησιακού που υπόκειται σε περιορισμούς.

Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται πάνω στις εφαρμογές της θεωρίας του Λογισμού των Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο. Πιο συγκεκριμένα επιλύεται το πρόβλημα Bolza με δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος τρόπος βασίζεται στην θεωρία του Λογισμού των Μεταβολών ενώ ο δεύτερος τρόπος στην θεωρία του Δυναμικού Προγραμματισμού που αναπτύχθηκε από τον Richard Bellman και η οποία μας οδηγεί στην μερική διαφορική εξίσωση των Hamilton-Jacobi-Bellman. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα αυτά στην επίλυση του γραμμικού τετραγωνικού προβλήματος (linear quadratic regulator problem) πεπερασμένου αλλά και άπειρου χρονικού ορίζοντα σε συνεχή γραμμικά συστήματα (χρονικά μεταβαλλόμενα αλλά και χρονικά αμετάβλητα). Με τις ίδιες μεθόδους μελετούμε το πρόβλημα ανίχνευσης (tracking problem). Στο τελευταίο μέρος του κεφαλαίου διατυπώνουμε την αρχή ελαχίστου του Pontryagin (αλλού αναφέρεται και ως αρχή μεγίστου όπως θα δούμε) και βλέπουμε εφαρμογές της αρχής αυτής στην επίλυση των εξής προβλημάτων: α) πρόβλημα ελάχιστου χρόνου (time optimal control problem), β) πρόβλημα ελάχιστων καυσίμων (fuel optimal control problem), γ) πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας (energy optimal control problem), δ) πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου με περιορισμούς στα διανύσματα κατάστασης. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως στο τέλος του βιβλίου υπάρχει παράρτημα με αναφορά σε βασικές μαθηματικές έννοιες καθώς και έννοιες της θεωρίας συστημάτων που χρησιμοποιούνται στο βιβλίο.