ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

Σκοπός του παρόντος βιβλίου είναι να δώσει μία απλή εισαγωγή στη Γεωμετρία των Αλγεβρικών Καμπυλών. Απαραίτητες γνώσεις για την κατανόησή του είναι η βασική Γραμμική Αλγεβρα και η βασική θεωρία των Αλγεβρικών Δομών. Μέρος του καλύπτει την ύλη του μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες το οποίο διδάσκεται στο τέταρτο έτος του Τμήματος Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.

Το πρώτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στο πολυωνυμικό δακτύλιο Α[Χ1, ..., Xn] υπεράνω ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου Α. Περιγράφεται η κατασκευή του και αποδεικνύεται ότι είναι δακτύλιος με μοναδική παραγοντοποίηση, στη περίπτωση όπου ο Α έχει αυτή την ιδιότητα. Επίσης μελετάται η ευκλείδεια διαίρεση, η παραγώγιση και η απαλείφουσα δύο πολυωνύμων. Τέλος δίνονται μερικά αποτελέσματα επί των μιγαδικών πολυωνύμων μία απροσδιόριστης, μεταξύ των οποίων και μία αρκετά απλή απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αλγεβρας.

Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγονται οι αλγεβρικές καμπύλες του C2 και εξετάζονται βασικές τους ιδιότητες. Ειδικότερα, μελετάται η σχέση ισοδυναμίας τους, ο αριθμός τομής καμπύλης και ευθείας σ' ένα σημείο, τα ανώμαλα σημεία τους, οι εφαπτόμενες ευθείες και τέλος οι ρητές καμπύλες.

Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια του προβολικού χώρου και των προβολικών αλγεβρικών καμπυλών. Εξετάζεται η σχέση μεταξύ των καμπυλών του C2 και των προβολικών καμπυλών, και μελετώνται αντίστοιχα θέματα μ' αυτά που διαπραγματεύθηκε το δεύτερο κεφάλαιο.

Το τέταρτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη δομή δύο προβολικών καμπυλών. Ορίζεται ο αριθμός τομής δύο προβολικών καμπυλών σ' ένα σημείο και αποδεικνύεται το κλασσικό θεώρημα του Bezout. Τέλος εξετάζεται η σχέση του αριθμού τομής με την πολλαπλότητα της κάθε μίας από τις δύο καμπύλες σ' αυτό το σημείο.

Τα γραμμικά συστήματα προβολικών καμπυλών και οι βασικές τους ιδιότητες μελετώνται στο πέμπτο κεφάλαιο. Επίσης, χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των ανωμάλων σημείων των προβολικών καμπυλών και την απόδειξη του κλασσικού θεωρήματος του Pascal.

Τέλος, το αντικείμενο του πέμπτου κεφαλαίου είναι οι κυβικές. Δίνεται μία ταξινόμησή τους με την βοήθεια της σχέσης ισοδυναμίας των προβολικών καμπυλών και δομείται το σύνολο των ομαλών σημείων τους σε αντιμεταθετική ομάδα.